गणित के लिए मानक "बुनियाद" की शुरुआत सेट (समुच्चयों) और उनके तत्वों से होती है। इसकी शुरुआत अलग तरीके से भी की जा सकती है—सेट के तत्वों के बजाय सेट के बीच के कार्यों (फंक्शंस) को स्वयंसिद्ध (एक्सिओमैटिक) मानकर। यह काम श्रेणियों (कैटिगरीज) और सार्वभौमिक रचनाओं की भाषा का उपयोग करके किया जा सकता है।
The standard "foundation" for mathematics starts with sets and their elements. It is possible to start differently, by axiomatising not elements of sets but functions between sets. This can be done by using the language of categories and universal constructions.
The standard "foundation" for mathematics starts with sets and their elements. It is possible to start differently, by axiomatising not elements of sets but functions between sets. This can be done by using the language of categories and universal constructions.
... 'कैटेगरी' और 'फनक्टर' जैसी धारणाओं को तब तक गढ़ा या छापा नहीं गया था, जब तक कि 'नेचुरल ट्रांसफॉर्मेशन' (प्राकृतिक रूपांतरण) का विचार भी सामने नहीं आ गया था।
... the notions category and functor were not formulated or put in print until the idea of a natural transformation was also at hand.
... the notions category and functor were not formulated or put in print until the idea of a natural transformation was also at hand.
... एक अर्थ में फाउंडेशन (बुनियाद) एक सुरक्षा कवच की तरह है: यदि आप बताए गए नियमों का बारीकी से पालन करते हैं, तो कोई विरोधाभास या उलझन पैदा नहीं होगी। लेकिन वास्तव में अब इस तरह की सुरक्षा की कोई गारंटी नहीं है...
. . . in one sense a foundation is a security blanket: If you meticulously follow the rules laid down, no paradoxes or contradictions will arise. In reality there is now no guarantee of this sort of security . . .
. . . in one sense a foundation is a security blanket: If you meticulously follow the rules laid down, no paradoxes or contradictions will arise. In reality there is now no guarantee of this sort of security . . .
... सेट के लिए सदस्यता संबंध (मेंबरशिप रिलेशन) को अक्सर फंक्शन के कंपोजीशन ऑपरेशन से बदला जा सकता है। इससे गणित के लिए श्रेणियों (कैटिगरीज) पर आधारित एक वैकल्पिक नींव तैयार होती है—विशेष रूप से, सभी फंक्शन की कैटेगरी पर। अब गणित का एक बड़ा हिस्सा गतिशील है, क्योंकि यह एक तरह की वस्तु के मॉरफ़िज़्म (रूपांतरण) को उसी प्रकार की दूसरी वस्तु में बदलता है। ऐसे मॉरफ़िज़्म (फंक्शन की तरह) श्रेणियां बनाते हैं, इसलिए श्रेणियों के माध्यम से किया जाने वाला यह दृष्टिकोण गणित को व्यवस्थित करने और समझने के उद्देश्य के साथ पूरी तरह मेल खाता है। सच कहें तो, गणित के एक उचित दर्शन का यही लक्ष्य होना चाहिए।
. . . the membership relation for sets can often be replaced by the composition operation for functions. This leads to an alternative foundation for Mathematics upon categories -- specifically, on the category of all functions. Now much of Mathematics is dynamic, in that it deals with morphisms of an object into another object of the same kind. Such morphisms (like functions) form categories, and so the approach via categories fits well with the objective of organizing and understanding Mathematics. That, in truth, should be the goal of a proper philosophy of Mathematics.
. . . the membership relation for sets can often be replaced by the composition operation for functions. This leads to an alternative foundation for Mathematics upon categories -- specifically, on the category of all functions. Now much of Mathematics is dynamic, in that it deals with morphisms of an object into another object of the same kind. Such morphisms (like functions) form categories, and so the approach via categories fits well with the objective of organizing and understanding Mathematics. That, in truth, should be the goal of a proper philosophy of Mathematics.